Verwendung leicht zugänglicher Komponenten für die Erzeugung pseudo-zufälliger Binärsequenzen und von weißem Rauschen

Von Art Pini

Zur Verfügung gestellt von Nordamerikanische Fachredakteure von Digi-Key

Zufällige Signale werden häufig als Problem betrachtet. Es gibt jedoch auch Anwendungen wie Kommunikations- und Gerätetests, die aufgrund ihrer einzigartigen Eigenschaften auf zufällige Bitfolgen und Rauschen angewiesen sind. Für einmalige Tests oder Designer mit begrenztem Budget ist es jedoch unter Umständen nicht möglich, einen speziell entwickelten Generator für pseudozufällige Binärsequenzen (PRBS) oder einen Generator für willkürliche (arbitäre) Wellenformen zu beschaffen. In solchen Fällen ist es kostengünstiger, ein solches Gerät mit leicht erhältlichen CMOS-Komponenten selbst zu bauen.

In diesem Artikel werden die nützlichen Rollen von pseudozufälligen Binärsequenzen und Rauschen in der Elektronik beschrieben. Anschließend werden die leicht zugänglichen CMOS-ICs vorgestellt, und es wird beschrieben, wie diese verwendet werden können, um erforderliches pseudo-zufälliges Rauschen und Binärsequenzen zu erzeugen.

Die Rolle von „gutem“ Rauschen

Weißes, zufälliges Rauschen hat ein konstantes Spektrum im Frequenzbereich. Der durchschnittliche Ausgangsamplitudenbereich eines Verstärkers oder Filters, der von einer Quelle weißen Rauschens angeregt wird, gibt die Amplitudenfrequenz-Antwort dieser Schaltung aus.

In der Kommunikation wird ein Datenstrom für einen CDMA-Transmitter mit einer pseudozufälligen Binärsequenz (PRBS) multipliziert. Dieser kann dann über denselben HF-Kanal als mehrere andere Signale übertragen werden. Durch Korrelation des Verbundsignals mit derselben pseudozufälligen Binärsequenz am Empfängerende wird der ursprüngliche Datenstrom ohne oder mit nur geringer Störung extrahiert. Da diese Zufallssignale so nützlich sind, ist es umso wichtiger, dass diese bei Bedarf erzeugt werden können.

Erzeugung einer pseudozufälligen Binärsequenz (PRBS)

Bei einer pseudozufälligen Binärsequenz handelt es sich um ein periodisches, deterministisches Signal, das aus einer Reihe digitaler Einsen und Nullen besteht. Die Dauer der Eins- oder Null-Stufen entsprechen einem Vielfachen der Taktzeit des Generators für pseudozufällige Binärsequenzen. Das Muster der Einsen und Nullen ist während des Zeitraums der Musterwiederholung im Generator zufällig (Abbildung 1).

Abbildung eines PRBS7-Signals als Testsignal

Abbildung 1: Ein PRBS7-Signal ist ein pseudozufälliges Binärsequenz-Testsignal mit einer Länge von 7 Bit und einer Dauer von 27–1 oder 127 Bits. Das Signal wird mit 1 MHz getaktet und weist eine Periodizität von 127 ms auf – siehe Oszilloskop-Cursor. (Bildquelle: Digi-Key Electronics)

Das Signal in Abbildung 1 ist ein PRBS7-Testsignal, das von einem Generator mit 7 Stufen erzeugt wird, die 127 Bits in jeder Musterperiode enthalten. Das Bitmuster ist innerhalb jeder Periode zufällig, allerdings wird die gesamte Sequenz alle 127 Taktperioden identisch wiederholt.

Diese Testsignale können in der Software oder Hardware generiert werden. Der Vorteile einer Hardwareumsetzung für Testzwecke ist, dass die Signale extern verfügbar sind, um das zu testende Gerät zu steuern.

Linear rückgekoppeltes Schieberegister

Die Hardwareumsetzung einer pseudozufälligen Binärsequenz erfolgt über linear rückgekoppelte Schieberegister (LFSR). Einige Schieberegister werden in Reihen angeordnet, wobei die Rückkopplung aus späteren Stufen als Eingabe über EXCLUSIVE-OR/NOR-Gatter genutzt wird. Die Anzahl der verwendeten Schieberegister bestimmt die Länge oder Dauer des Musters (Abbildung 2).

Beispiele eines LFSR mit 4 Bit, das mit einer exklusiven OR- und einer exklusiven NOR-Rückkopplungslogik implementiert wird

Abbildung 2: Beispiele eines LFSR mit vier Bit, das über eine exklusive OR- und eine exklusive NOR-Rückkopplungslogik umgesetzt wird. Über die Rückkopplungsabgriffe wird die Sequenz der Datenzustände bestimmt. (Bildquelle: Digi-Key Electronics)

Es sind zwar viele Rückkopplungskonfigurationen möglich, allerdings nutzen fast alle Entwürfe Abgriffe, die Sequenzen mit maximaler Länge erzeugen, damit die Gesamtzahl der Zustände (2N-1) entspricht – wobei sich N auf die Anzahl der Stufen im Schieberegister bezieht. In Tabelle 1 werden die Abgriffe für Sequenzen maximaler Länge für LFSR-Längen von 2 bis 32 zusammengefasst. Diese Abgriffe sind nicht exklusiv. Beachten Sie bitte, dass mehr als ein Polynom mit maximaler Länge für eine bestimmte Schieberegister-Länge bestehen kann.

Tabelle 1: Rückkopplungsabgriffe für LFSR mit maximaler Länge
LFSR-Länge PRBS-Periode (Bit) Abgriffe LFSR-Länge PRBS-Periode (Bit) Abgriffe
2 3 2, 1 17 131.071 17; 14
3 7 3; 2 18 262.143 18; 11
4 15 4; 3 19 524.287 19, 6, 2, 1
5 31 5; 3 20 1.048.575 20; 17
6 63 6, 5 21 2.097.151 21, 19
7 127 7, 6 22 4.194.303 22, 21
8 255 8, 6, 5, 4 23 8.388.607 23, 18
9 511 9, 5 24 16.777.215 24, 23, 22, 17
10 1023 10, 7 25 33.554.431 25, 22
11 2047 11, 9 26 67.108.963 26, 6, 2, 1
12 4095 12, 6, 4, 1 27 134.217.727 27, 5, 2, 1
13 8191 13, 4, 3, 1 28 268.435.455 28, 25
14 16.383 14, 5, 3, 1 29 536.870.911 29, 27
15 32.767 15, 14 30 1.073.741.823 30, 6, 4, 1
16 65.535 16, 15, 13, 4 31 2.147.483.646 31, 28
32 4.294.967.294 32, 22, 2, 1

Tabelle 1: Zusammenfassung der Abgriffe für Sequenzen maximaler Länge für LFSR-Längen von 2 bis 32. (Bildquelle: Digi-Key Electronics)

In unserem Beispiel wird ein LFSR mit 15 Stufen verwendet, das eine Zufallssequenz mit einer Länge von 32.767 Bit verwendet, eine sogenannte PRBS15-Testsequenz. Längere Sequenzen werden mit einem LFSR mit einer höheren Anzahl von Stufen erreicht. Die Einschränkung bei der Verwendung einer pseudozufälligen Binärtestsequenz bezieht sich auf die Dauer des Tests. Eine 15-Bit-Sequenz, die mit 500 kHz getaktet wird, benötigt 65 Millisekunden (ms). Eine 31-Bit-Sequenz benötigt 4295 Sekunden oder ca. 72 Minuten.

Im Beispiel in Abbildung 2 werden vier Schieberegister für die Erzeugung von Datenmustern mit 15 verschiedenen Zuständen verwendet. Beachten Sie, dass beide Konfigurationen über einen einzigen verbotenen Zustand verfügen. Im Fall des exklusiven OR-Rückkopplungsmodells wird der Nur-Null-Zustand nicht verwendet, weil das Schieberegister nach dem Laden fixiert in diesem Zustand verbleibt. Ebenso ist der Nur-Eins-Zustand in der Exklusiv-NOR-Umsetzung verboten. Tabellen 2 und 3 enthalten die Datenmuster für beide Konfigurationen für das Vier-Bit-LFSR, wobei Rückkopplungsabgriffe aus den Stufen drei und vier verwendet werden.

Tabelle 2: Exklusiv-OR
Takt Q0 Q1 Q2 Q3
Seed 1 1 1 1
1 0 1 1 1
2 0 0 1 1
3 0 0 0 1
4 1 0 0 0
5 0 1 0 0
6 0 0 1 0
7 1 0 0 1
8 1 1 0 0
9 0 1 1 0
10 1 0 1 1
11 0 1 0 1
12 1 0 1 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
Tabelle 3: Exklusiv-NOR
Takt Q0 Q1 Q2 Q3
Seed 0 0 0 0
1 1 0 0 0
2 1 1 0 0
3 1 1 1 0
4 0 1 1 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 0 1 1 0
8 0 0 1 1
9 1 0 0 1
10 0 1 0 0
11 1 0 1 0
12 0 1 0 1
13 0 0 1 0
14 0 0 0 1
15 0 0 0 0

Tabelle 2 und 3: Datenmuster für OR- und NOR-Konfigurationen, die in Abbildung 1 dargestellt werden. (Bildquelle: Digi-Key Electronics)

Beide Umsetzungen beginnen in einem bekannten Zustand: alles Einsen bei OR und alles Nullen bei NOR. Diese LFSRs mit einer max. Länge von vier Bit bieten 15 mögliche Zustände (2N-1), die in den Tabellen ersichtlich sind.

Das Ausgabedatenmuster ist periodisch und wird nach 15 Takten wiederholt. Das Muster ist zudem deterministisch, das heißt, in einer bestimmten Konfiguration und mit einem bekannten Startdatum kann die Ausgabe vorhergesagt werden. Das Ausgabemuster fällt innerhalb der 15-Takt-Periode jedoch zufällig aus.

Entwicklung eines Generators für pseudo-zufällige Sequenzen

Ein Entwurf für einen praktischen und kostengünstigen Generator für pseudozufällige Binärsequenzen auf Grundlage einer LFSR-Umsetzung mit dem statischen Dual-Quad-Schieberegister CD4015BM96 und dem Quad-XOR-Gatter CD4030BM96 von Texas Instruments wird in Abbildung 3 angezeigt.

Vereinfachtes Schema eines PRBS15-Generators unter Verwendung des statischen Dual-Quad-Schieberegisters CD4015BM96 von Texas Instruments

Abbildung 3: Vereinfachtes Schema für einen PRBS15-Generator unter Verwendung des statischen Dual-Quad-Schieberegisters CD4015BM96 und des Quad-XOR-Gatters CD4030BM96 von Texas Instruments. (Bildquelle: Digi-Key Electronics)

Dieser Generator verwendet 16 D-Flip-Flops (acht pro IC) mit Rückkopplungsabgriffen am 14. und 15. , wodurch ein PRBS15-Datenmuster erzeugt wird. Die Rückkopplungsverbindung läuft über ein XOR-Gatter, das dann umgekehrt wird, um ein XNOR-konfiguriertes LFSR zu bilden. Dieses Datenmuster hat eine Länge von 32767 Bit, das einer Dauer von ca. 65 ms bei einer Taktrate von 500 kHz entspricht. Längere Muster können durch Verwendung längerer Schieberegister mit einem passenden Wechsel in den Rückkopplungsabgriffen erreicht werden. Durch Erweiterung des Entwurfs auf ein 31-Bit-Muster wird die Dauer des Musters auf mehr als 2 Milliarden Zustände erhöht (ca. 72 Minuten bei einer Taktfrequenz von 500 kHz).

Der Generator wird beim Start für den Nur-Null-Zustand unter Verwendung des NAND-Schmitt-Trigger-Gatters CD4093BM96 (IC5) und eines einfachen RC-Netzwerks initialisiert. Der Takt wird durch einen einfachen CMOS-Oszillator vorgegeben, der mit fast 500 kHz läuft. Die digitale Ausgabe kann von einer beliebigen Q-Ausgabe des Schieberegisters entnommen werden. In diesem Fall wurde Q14 verwendet.

Die Ausgabe des Generators wird in Verbindung mit der Fast-Fourier-Transformation (FFT) der Ausgabe auf einem Oszilloskop in Abbildung 4 dargestellt.

Die Abbildung der Ausgabe des Generators (obere Linie) wird horizontal auf die mittlere Linie ausgedehnt.

Abbildung 4: Die Abbildung der Ausgabe des Generators (obere Linie) wird horizontal auf die mittlere Linie ausgedehnt. Die FFT des Generatorausgangs (untere Spur) zeigt, dass das Spektrum unter 1/10 der Taktrate flach ist. (Bildquelle: Digi-Key)

Die FFT des digitalen Rauschens zeigt die erwartete sin(x)/x-Reaktion einer gepulsten Wellenform mit Nullen an Vielfachen der Taktfrequenz. Das Spektrum ist bis ca. 10 % der Taktfrequenz ziemlich konstant. Dies ist der Schlüssel für die Extraktion des weißen Rauschens aus der digitalen Ausgabe unter Verwendung einer Tiefpassfilterung.

Generator für weißes Rauschen

Beim weißen Rauschen handelt es sich um Rauschen, das im gesamte Frequenzbereich ein konstantes Spektrum aufweist. Die Spektraldichte der Leistung und die Leistung per Einheitsbandweite ist über die Bandweite des Rauschens konstant. Durch Filterung des ausgegebenen digitalen Rauschens erzeugt der Generator für pseudozufällige Binärsequenzen ein weißes Rauschen.

Ein Analogfilter kann zwar eingesetzt werden, dieser würde jedoch auf eine spezielle Taktfrequenz begrenzt. Durch Verwendung eines digitalen Tiefpass-FIR-Filters (finite impulse response) erfasst die Filtersperre alle Änderungen in der Taktfrequenz. Der FIR-Filter kann sehr geringe Filtersperre-Frequenzen vorgeben, durch die sehr große Kondensatoren in einem Analogfilter erforderlich wären. Der FIR-Filter kombiniert die gewichtete Summe der Ausgaben des Schieberegisters. Die erforderliche Gewichtung für die Erzeugung einer rechteckigen Tiefpassfilterantwort im Frequenzbereich lautet sin(x)/x im Zeitbereich (Abbildung 5).

Diagramm der erforderlichen Gewichtung für die Erzeugung einer rechteckigen Tiefpassfilterantwort

Abbildung 5: Die Ausgabestufe des Generators nutzt per sin(x)/x gewichtete Muster aus den Schieberegisterausgaben für die Umsetzung eines FIR-Tiefpassfilters. Da die Gewichtung sin(x)/x negative Terme erfordert, wird ein Differenzialverstärker verwendet, um die positiv und negativ gewichteten Komponenten zu addieren. (Bildquelle: Digi-Key)

Die gewichteten Ausgaben des Schieberegisters werden im Differenzialverstärker zusammengefasst, der unter Verwendung von drei Abschnitten eines Quad-Operationsverstärkers LM324KDR hergestellt wird. Die obere Widerstandsbank stellt die negativen Komponenten der Gewichtung sin(x)/x dar. Die untere Widerstandsbank stellt positive Werte dar. Die Ausgaben Q3 und Q12 sind nicht verbunden, weil sie die Nulldurchgangspunkte der Funktion sin(x)/x darstellen. Die sich daraus ergebende Ausgabe des weißen Rauschens stellt die klassische Gauß’sche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (probability density function, PDF) dar (Abbildung 6).

Abbildung des digitalen Rauschens der pseudozufälligen Binärsequenz (obere beide Linien) und der analogen Ausgabe des weißen Rauschens (dritte Linie von oben)

Abbildung 6: Das digitale Rauschen der pseudozufälligen Binärsequenz (obere beide Linien) und die analoge Ausgabe des weißen Rauschens (dritte Linie von oben) Das Histogramm des weißen Rauschens (untere Linie) weist die klassische glockenförmige Normale oder Gauß’sche PDF auf. (Bildquelle: Digi-Key)

Das Signal des weißen Rauschens ist das Dritte von oben. Darunter liegt das Histogramm des Rauschens, das die erwartete Normale oder Gauß’sche Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweist. Die Bandbegrenzung des weißen Rauschens liegt bei 5 % der Taktfrequenz oder 25 kHz und eignet sich damit für Audiofrequenztests.

Fazit

Es hat sich gezeigt, dass leicht zugängliche CMOS-ICs für die Herstellung einer pseudo-zufälligen Binärsequenz sowie von weißem Rauschen für Kommunikations- und Testzwecke verwendet werden können. Die Stückliste mit den verwendeten Teilen fällt kostengünstig aus und eignet sich damit ideal für die akademische Forschung, für Hobbyzwecke und Ingenieure und Techniker, denen nur begrenzte Mittel zur Verfügung stehen.

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Über den Autor

Art Pini

Arthur (Art) Pini ist ein aktiver Autor bei Digi-Key Electronics. Seine Abschlüsse umfassen einen Bachelor of Electrical Engineering vom City College of New York und einen Master of Electrical Engineering von der City University of New York. Er verfügt über mehr als 50 Jahre Erfahrung in der Elektronikbranche und war in leitenden Positionen in den Bereichen Technik und Marketing bei Teledyne LeCroy, Summation, Wavetek und Nicolet Scientific tätig. Er hat Interesse an der Messtechnik und umfangreiche Erfahrung mit Oszilloskopen, Spektrumanalysatoren, Generatoren für beliebige Wellenformen, Digitalisierern und Leistungsmessern.

Über den Verlag

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